Question

【題目】已知：如圖，拋物線交x軸于A（－2，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C（0，6）．

（1）寫出a，b，c的值；

（2）連接BC，點P為第一象限拋物線上一點，過點A作AD⊥x軸，過點P作PD⊥BC于交直線AD于點D，設點P的橫坐標為t，AD長為h．

①求h與t的函數關系式和h的最大值（請求出自變量t的取值范圍）；

②過第二象限點D作DE∥AB交BC于點E，若DP=CE，時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝－1，b＝1，c＝6；（2）①，當時，h有最大值為 ，當＜t<3時，無最大值，②符合條件的點P的坐標為（2，4）．

【解析】

（1）根據待定系數法求解；（2）①如圖，過點P作PG⊥x于點G，過點D作DK∥x軸交PG于點K，根據三角函數值和矩形性質得，再求最值；②如圖，過點P作PH⊥AD交AD的延長線于點H，根據全等三角形判定和性質，△PHD≌△CNE（AAS），PH=CN=OC－ON，根據矩形性質，t＋2=，解得，（舍去），把t=2代入拋物線，可求點P（2，4）．當點D在第三象限時，不存在點P滿足DP=CE．故符合條件的點P的坐標為（2，4）．

（1）根據題意得

所以，a＝－1，b＝1，c＝6；

（2）①如圖，過點P作PG⊥x于點G，過點D作DK∥x軸交PG于點K，

∵PD⊥BC，DK⊥y軸，∠BCO=∠PDK，OB=3，OC=6，

∴tan∠BCO=tan∠PDK=，DK=t＋2，PK=DK=，

∵DK∥AB，AD⊥AB，∴四邊形ADKG為矩形，

∴AD=KG，

h=AD=KG=|PG－PK|=

令，，，（不合題意，舍去）

∴

當0＜t≤時，

∴當時，h有最大值為

當＜t<3時，無最大值．

②如圖，過點P作PH⊥AD交AD的延長線于點H，

∵PD⊥BC，∴∠PHD=∠ECE=90°－∠CMH

在△PHD與△CNE中，

，

∴△PHD≌△CNE（AAS），

∴PH=CN=OC－ON，

∵四邊形ADNO為矩形，

∴CN==，PH=t＋2，

∴t＋2=，

解得，（舍去），

把t=2代入拋物線，∴點P（2，4）．

當點D在第三象限時，不存在點P滿足DP=CE．

∴符合條件的點P的坐標為（2，4）．