Question

【題目】如圖1，分別是的內角的平分線，過點 作，交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，如果，且，求；

（3）如果是銳角，且與相似，求的度數，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）當， ；當，．

【解析】

（1）先利用角平分線的性質，得 ， ，再利用外角、三角形內角和進行換算即可；

（2）延長AD，構造平行相似，得到，再按條件進行計算；

（3）利用△ABC與△ADE相似，得到 ，所以得到 或，再利用三角函數求值．

（1）如圖1中

∵

∴ ,

∵AD平分

∴ ，同理得

∵ ，

∴

∴

（2）延長AD交BC于點F

∵

∴

BE平分∠ABC

∴

∴

∴

∴ ，

∵

∴

（3）∵△ABC與△ADE相似，

∴∠ABC中必有一個內角和為90°

∵∠ABC是銳角

∴

當 時

∵

∴

∵

∴ ，

∵分別是的內角的平分線

∴

∴

∵

∴

代入解得

②當 時

∵△ABC與△ADE相似

∴

∵分別是的內角的平分線

∴

∴

此時

綜上所述，當， ；當，