Question

2．在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內與圓心C不重合的點，⊙C的“完美點”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點A，B，滿足|PA-PB|=2，則稱點P為⊙C的“完美點”，如圖為⊙C及其“完美點”P的示意圖．
（1）當⊙O的半徑為2時，
①在點M（$\frac{3}{2}$，0），N（0，1），T（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）中，⊙O的“完美點”是N，T；
②若⊙O的“完美點”P在直線y=$\sqrt{3}$x上，求PO的長及點P的坐標；
（2）⊙C的圓心在直線y=$\sqrt{3}$x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點”，求圓心C的縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用圓的“完美點”的定義直接判斷即可得出結論；
②先確定出滿足圓的“完美點”的OP的長度，然后分情況討論計算即可得出結論；
（2）先判斷出圓的“完美點”的軌跡，然后確定出取極值時⊙C與y軸的位置關系即可得出結論．

解答 解：（1）①∵點M（$\frac{3}{2}$，0），
∴設⊙O與x軸的交點為A，B，
∵⊙O的半徑為2，
∴取A（-2，0），B（2，0），
∴|MA-MB|=|（$\frac{3}{2}$+2）-（$\frac{3}{2}$-2）|=4≠2，
∴點M不是⊙O的“完美點”，
同理：點N，T是⊙O的“完美點”．
故答案為N，T；
②如圖1，根據題意，|PA-PB|=2，
∴|OP+2-（2-OP）|=2，
∴OP=1．
若點P在第一象限內，作PQ⊥x軸于點Q，
∵點P在直線$y=\sqrt{3}x$上，OP=1，
∴OQ=$\frac{1}{2}$，PQ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
若點P在第三象限內，根據對稱性可知其坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
綜上所述，PO的長為1，點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
（2）對于⊙C的任意一個“完美點”P都有|PA-PB|=2，
∴|CP+2-（2-CP）|=2．
∴CP=1．
∴對于任意的點P，滿足CP=1，都有|CP+2-（2-CP）|=2，
∴|PA-PB|=2，故此時點P為⊙C的“完美點”．
因此，⊙C的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓．
設直線$y=\sqrt{3}x+1$與y軸交于點D，如圖2，
當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，t的值最小．
設切點為E，連接CE，
∵⊙C的圓心在直線y=$\sqrt{3}$x+1上，
∴此直線和y軸，x軸的交點D（0，1），F（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=1，
∵CE∥OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DE}=\frac{OF}{CE}$，
∴$\frac{1}{DE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{3}$．
∴OE=2$\sqrt{3}$-1，
t的最小值為1-2$\sqrt{3}$．
當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，t的值最大．
同理可得t的最大值為1+2$\sqrt{3}$．
綜上所述，t的取值范圍為1-2$\sqrt{3}$≤t≤1+2$\sqrt{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的性質和判定，直線和圓的位置關系，解本題的關鍵是理解新定義的基礎上，會用新定義，是一道比中等難度的中考常考題．