Question

4．E為正方形ABCD的邊CD上一點，將△ADE繞A點順時針旋轉90°，得△ABF，G為EF中點．下列結論：①G在△ABF的外接圓上；②EC=$\sqrt{2}$BG；③B，G，D三點在同一條直線上；④若S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，那么E為DC的黃金分割點．正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 先判斷出點A，F，B，G四點共圓即可得出①正確，再用線段的垂直平分線的判定即可得出③正確，進而判斷出∠CBD=45°，再判斷出GH是△CEF的中位線，判斷出，進而用等腰直角三角形的性質得出BG=$\sqrt{2}$BH即可得出②正確，利用S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，判斷出CE=2DE，即可判斷出④錯誤．

解答 解：∵將△ADE繞A點順時針旋轉90°，得△ABF，
∴∠EAF=90°，
∵G為EF中點．
∴EG=FG，∠AGF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠AGF=∠ABF=90°，
∴點A，F，B，G四點共圓，
∴點G在△ABF的外接圓上；
所以①正確，
連接AC，在Rt△AEF中，EG=FG，
∴AG=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△CEF中，EG=FG，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
∴AG=CG，
∴點G是線段AC的垂直平分線上，
∵AB=CB，
∴點B是線段AC的垂直平分線上，
∵AD=CD，
∴點D是線段AC的垂直平分線上，
∴點B，G，D都在線段AC的垂直平分線上，
∴B，G，D三點在同一條直線上；所以③正確，
∵B，G，D三點在同一條直線上；
∴∠CBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
過點G作GH⊥BC，
∴GH∥CE，
∵EG=FG，
∴GH是△CEF的中位線，
∴CE=2GH，
在Rt△BHG中，∠CBD=45°，
∴BG=$\sqrt{2}$GH，
∴GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG，
∴CE=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG=$\sqrt{2}$BG，
所以②正確；
∵S_{四邊形BGEC}=S_△BHG+S_梯形CEGH
=$\frac{1}{2}$GH²+$\frac{1}{2}$（GH+CE）×CH
=$\frac{1}{2}$GH²+$\frac{1}{2}$（GH+CE）×（BC-GH）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$CE）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$CE+CE）×（BC-$\frac{1}{2}$CE）
=$\frac{1}{8}$CE²+$\frac{3}{4}$CE×（BC-$\frac{1}{2}$CE）
=$\frac{3}{4}$CE×CD-$\frac{1}{4}$CD²，
S_{正方形ABCD}=CD²，
∵S_{四邊形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∴$\frac{3}{4}$CE×CD-$\frac{1}{4}$CD²=$\frac{1}{4}$CD²，
∴3CE=2CD=2（CE+DE），
∴CE=2DE，
∴E不是DC的黃金分割點．
所以④錯誤，
即：正確的有①②③，
故選B．

點評 此題是旋轉的性質，主要考查了正方形的性質，四點共圓，直角三角形的斜邊的直線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質，幾何圖形的面積，三角形的中位線．判斷出B，G，D三點共線是解本題的關鍵．