Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AC是弦，取弧的中點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當AB=10，AC=5時，求CE的長；

（3）連接CD，AB=10．當=時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CE =；（3）DE =4．

【解析】

（1）連接OD，如圖，根據圓周角定理得到∠BAD=∠CAD，再證明OD∥AC，然后利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；
（2）作OH⊥AC于H，如圖，根據垂徑定理得到AH=CH=，易得四邊形ODEH為矩形，則OD=HE=AB=5，然后計算HE-HC即可；
（3）根據三角形面積公式，由=得到CE：AE=1：4，設CE=x，則AE=4x，所以AH=CH=x，則HE=x，然后利用HE=OD得x=2，則AH=3，然后根據勾股定理計算出OH，從而得到DE的長．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵點D為的中點，

∴=，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAC，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：作OH⊥AC于H，如圖，則AH=CH=AC=，

易得四邊形ODEH為矩形，

∴OD=HE=AB=5，

∴CE=HE-HC=5-=；

（3）解：∵=，

∴CE：AE=1：4，

設CE=x，則AE=4x，

則AH=CH=x，

∴HE=x+x=x，

∵HE=OD，

∴x=5，解得x=2，

∴AH=3，

在Rt△AOH中，OH==4，

∴DE=OH=4．