Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN為邊構造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的“坐標菱形”．

（1）已知點A（1，0），B（0，），則以AB為邊的“坐標菱形”的最小內角為______；

（2）若點C（2，1），點D在直線y=5上，以CD為邊的坐標菱形”為正方形，求育直線CD表達式；

（3）⊙O的半徑為，點P的坐標為（3，m），若在⊙O上存在一點Q，使得以QP為邊的“坐標菱形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）y=x-1或y=-x+3；（3）m的取值范圍是1≤m≤5或-5≤m≤-1．

【解析】

（1）根據定義建立以AB為邊的“坐標菱形”，由勾股定理求邊長AB=4，可得30度角，從而得最小內角為60°；
（2）先確定直線CD與直線y=5的夾角是45°，得D（6，5）或（-2，5），易得直線CD的表達式為：y=x-1或y=-x+3；
（3）分兩種情況：①先作直線y=x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x，如圖3，根據等腰直角三角形的性質分別求P'B=BD=1，PB=5，寫出對應P的坐標；
②先作直線y=-x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x，如圖4，同理可得結論．

解：（1）如圖1中，

點A（1，0），B（0，），

∴OA=1，OB=，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==2，

∵sin∠ABO==，

∴∠ABO=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABC=2∠ABO=60°，

∵AB∥CD，

∴∠DCB=180°-60°=120°，

∴以AB為邊的“坐標菱形”的最小內角為60°，

故答案為：60°；

（2）如圖2中，

∵以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，

∴直線CD與直線y=5的夾角是45°．

過點C作CE⊥DE于E．

∴D（6，5）或（-2，5）．

∴直線CD的表達式為：y=x-1或y=-x+3；

（3）分兩種情況：

①先作直線y=x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x，如圖3，

∵⊙O的半徑為，且△OQ'D是等腰直角三角形，

∴OD=OQ'=2，

∴P'D=3-2=1，

∵△P'DB是等腰直角三角形，

∴P'B=BD=1，

∴P'（0，1），

同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5，

∵△ABP是等腰直角三角形，

∴PB=5，

∴P（0，5），

∴當1≤m≤5時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；

②先作直線y=-x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x，如圖4，

∵⊙O的半徑為，且△OQ'D是等腰直角三角形，

∴OD=OQ'=2，

∴BD=3-2=1，

∵△P'DB是等腰直角三角形，

∴P'B=BD=1，

∴P'（0，-1），

同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5，

∵△ABP是等腰直角三角形，

∴PB=5，

∴P（0，-5），

∴當-5≤m≤-1時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；

綜上所述，m的取值范圍是1≤m≤5或-5≤m≤-1．