Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點，連接AE，以AD為直徑的⊙O交AE于點F，連接CF．

（1）求證：CF與⊙O相切；
（2）若AD=2，F為AE的中點，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖所示：連接OF、OC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，

∵E為BC邊中點，AO=DO，

∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四邊形OAEC是平行四邊形，

∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠DOC=∠FOC，

∵在△ODC和△OFC中

，

∴△ODC≌△OFC（SAS），

∴∠OFC=∠ODC=90°，

∴OF⊥CF，

∴CF與⊙O相切；

（2）

解：如圖所示：連接DE，

∵AO=DO，AF=EF，AD=2，

∴DE=20F=2，

∵E是BC的中點，

∴EC=1，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：

DC=，

∴AB=CD=．

【解析】（1）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形，進而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，進而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的長，即可得出AB的長，
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．