Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等腰△OBC的邊OB在x軸上，OB=CB，OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點D，連接OD，AB=，∠CBO=45°，在直線BE上求點M，使△BMC與△ODC相似，則點M的坐標是 ．

Answer 1

【答案】（1，）或（ ， ）
【解析】解：∵OB=CB，OB邊上的高CA與OC邊上的高BE相交于點D，AB=，∠CBO=45°，
∴AB=AC=，OD=CD，∠BOC==67.5°，
在Rt△BAC中，BC==2，
∴OB=2，
∴OA=OB﹣AB=2﹣，
在Rt△OAC中，OC==2，
在Rt△OAD中，OA2+AD2=OD2 ，
（2﹣）2+AD2=（﹣AD）2 ，
解得：AD=2﹣，
∴OA=AD，∠DOA=45°，
∴OD=CD=2﹣2，
在Rt△BAD中，BD==2，
①如圖1，△BMC∽△CDO時，過M點作MF⊥AB于F，

=，即=，
解得BM=，
∵MF⊥AB，CA是OB邊上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴，即==，
解得BF=1，MF=﹣1，
∴OF=OB﹣BF=1，
∴點M的坐標是（1，﹣1）；
②如圖2，△BCM∽△CDO時，過M點作MF⊥AB于F，

，即=，
解得BM=2，
∵MF⊥AB，CA是OB邊上的高，
∴MF∥DA，
∴△BMF∽△BDA，
∴ ， 即==，
解得BF=2+，MF=，
∴OF=BF﹣OB=，
∴點M的坐標是（﹣，）．
綜上所述，點M的坐標是（1，﹣1）或（﹣，）．
所以答案是：（1，﹣1）或（﹣，）．
【考點精析】通過靈活運用一次函數的圖象和性質和相似三角形的判定與性質，掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．