Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；
（2）點C關于拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸的對稱點為E點，聯結BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）點M是拋物線對稱軸上一點，且△DMB和△BCE相似，求點M坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B（3，0）和點C（0，3）

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）

（2）

解：由（1）可知拋物線對稱軸為直線x=1，

∵點E與點C（0，3）關于直線x=1對稱，

∴點E（2，3），

過點E作EH⊥BC于點H，

∵OC=OB=3，

∴BC= ，

∵ ，CE=2，

∴ ，

解得EH= ，

∵∠ECH=∠CBO=45°，

∴CH=EH= ，

∴BH=2 ，

∴在Rt△BEH中，

（3）

解：當點M在點D的下方時

設M（1，m），對稱軸交x軸于點P，則P（1，0），

∴BP=2，DP=4，

∴ ，

∵ ，∠CBE、∠BDP均為銳角，

∴∠CBE=∠BDP，

∵△DMB與△BEC相似，

∴ 或 ，

① ，

∵DM=4﹣m， ， ，

∴ ，

解得， ，

∴點M（1， ）

② ，則 ，

解得m=﹣2，

∴點M（1，﹣2），

當點M在點D的上方時，根據題意知點M不存在．

綜上所述，點M的坐標為（1， ）或（1，﹣2）．

【解析】（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式，根據二次函數的性質解答即可；（2）過點E作EH⊥BC于點H，根據軸對稱的性質求出點E的坐標，根據三角形的面積公式求出EH、BH，根據正切的定義計算即可；（3）分 和 兩種情況，計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的概念的相關知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．