Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R． （I）當a=3時，求關于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）當x∈R時，f（x）≥a2﹣a﹣13，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=3時，不等式f（x）≤6為|2x﹣3|+|2x﹣1|≤6 若 時，不等式可化為﹣（2x﹣3）﹣（2x﹣1）=﹣4x+4≤6，解得 ，
若 時，不等式可化為﹣（2x﹣3）+（2x﹣1）=2≤6，解得 ，
若 時，不等式可化為（2x﹣3）+（2x﹣1）=4x﹣4≤6，解得 ，
綜上所述，關于x的不等式f（x）≤6的解集為 ． …
（II）當x∈R時，f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|≥|2x﹣a+1﹣2x|=|1﹣a|，
所以當x∈R時，f（x）≥a2﹣a﹣13等價于|1﹣a|≥a2﹣a﹣13，
當a≤1時，等價于1﹣a≥a2﹣a﹣13，解得 ，
當a＞1時，等價于a﹣1≥a2﹣a﹣13，解得 ，
所以a的取值范圍為 ．
【解析】（I）分類討論，即可求關于x的不等式f（x）≤6的解集；（II）當x∈R時，f（x）≥a2﹣a﹣13等價于|1﹣a|≥a2﹣a﹣13，分類討論，求實數a的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．