Question

【題目】截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．

（1）如圖1,△ABC是等邊三角形,點D是邊BC下方一點,∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．

解題思路：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，可得AE=AD, CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根據∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,則 ∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問題．

根據上述解題思路,三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是___________；

（2）如圖2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC．點D是邊BC下方一點,∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）DA=DB+DC；（2）DA=DB+DC，證明見解析；

【解析】

（1）結論：DA=DB+DC．理由：由等邊三角形知AB=AC，∠BAC=60°，結合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．
（2）結論：DA=DB+DC．理由：延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，據此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，繼而可得2DA2=（DB+DC）2；

（1）結論DA=DB+DC．理由如下：

如圖1，延長DC到點E，使CE=BD，連接AE，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；

（2）結論: DA=DB+DC．理由如下：

如圖,將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE

∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE,∠DAE=90°，

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

∵∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠ACD=180°，

∴點D、C、E在同一條直線上．

∵∠DAE=90°，DA=EA

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DA2+AE2=DE2，

∴2DA2=( DB+DC)2

∴DA=DB+DC．