Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t，

求：(1)t為何值時，P、Q兩點之間的距離是10cm？

(2)t為何值時，直線PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】（1）當t=5或8時， P、Q兩點之間的距離是10cm；（2）t=8或時，直線PQ與⊙O相切

【解析】

（1）作PE⊥BC于E，由勾股定理，得(264t)+64=100，解得t=5或8問題得解；

（2）設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，如圖因為，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，過p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的關于t的一元二次方程，則t可求．問題得解．

(1)如圖1，作PE⊥BC于E，

AP=t，BQ=263t，QE=264t．

由勾股定理，得(264t)+64=100，

解得t=5或8；

∴當t=5或8時，P、Q兩點之間的距離是10cm．

(2)設運動t秒時，直線PQ與⊙O相切于點G，過P作PH⊥BC于點H，

則PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26-3t-t=26-4t，

由切線長定理得，AP=PG，QG=BQ，

則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2，

化簡整理得 3t2-26t+16=0，

解得t=8或，

所以當t=8或時，直線PQ與⊙O相切．