Question

【題目】背景材料：

在學習全等三角形知識時，數學興趣小組發現這樣一個模型，它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們知道這種模型稱為手拉手模型．

例如：如圖1，兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中易得到△ABD≌△ACE．

學習小組繼續探究：

（1）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，請作出一個手拉手圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并連接BE，CD，證明BE＝CD；

（2）小剛同學發現，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，將三角形ADE旋轉一定的角度（如圖3），連接CE和BD，證明△ABD∽△ACE．

學以致用：

（3）如圖4，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．請在圖中構造小剛發現的手拉手模型求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析，證明見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可證△DAC≌△BAE，可得BD＝CE；

（2）通過證明△ADE∽△ABC，可得，由旋轉的性質可得∠BAC＝∠DAE，即可得結論；

（3）過點A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，連接CE，則∠EDC＝90°，通過證明△AEC∽△ADB，可得 ，由銳角三角函數和勾股定理可求AE，DE，EC的長，即可求BD的長．

（1）作圖

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴BE＝CD

（2）如圖，

在第一個圖中，∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴

∵將三角形ADE旋轉一定的角度

∴∠BAC＝∠DAE

∴∠BAD＝∠CAE，且

∴△ABD∽△ACE；

（3）如圖，過點A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，連接CE，則∠EDC＝90°，

∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°

∴△AED∽△ACB

∴

∵∠CAB＝∠DAE＝90°

∴∠CAE＝∠DAB，且

∴△AEC∽△ADB

∴

∵△AED∽△ACB

∴∠ADE＝∠ABC

∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB

∴∠ADC+∠ADE＝90°

∴∠EDC＝90°

∵tanα＝，AD＝12．

∴AE＝16

∴DE＝ ＝20

∴EC＝

∵

∴BD＝