Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x軸于A，B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x+3的圖象交坐標(biāo)軸于A，D兩點(diǎn)，E為直線AD上一點(diǎn)，作EF⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)F

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)F位于直線AD的下方，請問線段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由；

(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)G，使得G，E，D，C為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；(2)，(，)；(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（2）由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m， m2+m﹣1），由此得到EF＝﹣m2+m+4，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可；

（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)EG為菱形對角線時(shí)．②如圖2、3中，當(dāng)EC為菱形的對角線時(shí)，③如圖4中，當(dāng)ED為菱形的對角線時(shí)，分別求解即可．

(1)將y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)．

設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣x 1)(x﹣x 2)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，

∴y＝a(x+3)(x﹣1)．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣1)，

∴﹣3a＝﹣1，得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x 2+x﹣1；

(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，m+3)，線段EF的長度為y，

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，m 2+m﹣1)

∴y＝(m+3)﹣( m 2+m﹣1)＝﹣ m 2+m+4

即y＝-(m﹣) 2+，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)；

(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．

理由：①如圖1，當(dāng)四邊形CGDE為菱形時(shí)．

∴EG垂直平分CD

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y＝＝1，

將y＝1帶入y＝x+3，得x＝﹣2．

∵EG關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)；

②如圖2，當(dāng)四邊形CDEG為菱形時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作圓，交AD于點(diǎn)E，可得DC＝DE，構(gòu)造菱形CDEG

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，n+3)，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，3)

∴DE＝＝

∵DE＝DC＝4，

∴＝4，解得n1＝﹣2，n2＝2．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2+3)或(2，2+3)

將點(diǎn)E向下平移4個(gè)單位長度可得點(diǎn)G，

點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2﹣1)(如圖2)或(2，2﹣1)(如圖3)

③如圖4，“四邊形CDGE為菱形時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑作圓，交直線AD于點(diǎn)E，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(k，k+3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣1)．

∴EC＝＝．

∵EC＝CD＝4，

∴2k2+8k+16＝16，

解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣4，﹣1)

將點(diǎn)E上移1個(gè)單位長度得點(diǎn)G．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣4，3)．

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，(2，2﹣1)，(﹣4，3)．