Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，動點P從點B開始沿邊BA以2cm/s的速度向點A移動，過點P作PE⊥BC，PF⊥AC，設點P移動的時間為t，四邊形PECF的面積為S．
（1）寫出S與t的函數解析式及t的取值范圍；
（2）求出當t為何值時，四邊形PECF的面積最大？最大是多少？

Answer 1

分析 （1）解Rt△ABC，求得BC=AB×cos30°=6$\sqrt{3}$cm，根據路程=速度×時間以及已知條件得出PB=2tcm，0≤t≤6，再解Rt△PBE，得到PE=$\frac{1}{2}$PB=tcm，BE=$\sqrt{3}$PE=$\sqrt{3}$tcm，那么EC=BC-BE=（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cm，代入四邊形FCEP的面積S=PE×EC即可；
（2）將（1）中所求解析式利用配方法變形為頂點式，再根據二次函數的性質即可求解．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴BC=AB×cos30°=6$\sqrt{3}$cm，
∵動點P從點B開始沿邊BA以2cm/s的速度向點A移動，點P移動的時間為t，
∴PB=2tcm，0≤t≤6，
∵在Rt△PBE中，∠PEB=90°，∠B=30°，PB=2tcm，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB=tcm，BE=$\sqrt{3}$PE=$\sqrt{3}$tcm，
∴EC=BC-BE=（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cm，
∴四邊形FCEP的面積S=PE×EC=t（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t，
∴S=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t（0≤t≤6）；

（2）∵S=-$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t=-$\sqrt{3}$（t-3）²+9$\sqrt{3}$，
∴當t=3s時，四邊形PECF的面積最大，最大值為9$\sqrt{3}$cm²．

點評 本題考查了二次函數的應用，解直角三角形，矩形的面積，二次函數的最值，根據四邊形FCEP的面積S=PE×EC，求出y與t之間的函數關系式是解題的關鍵．