Question

14．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，其邊長為2，則⊙O的內接正三角形EFG的邊長為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 連接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圓的半徑，在Rt△OEM中利用30度角的性質即可解決問題．

解答 解；連接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC是直徑，AC=2$\sqrt{2}$，
∴OE=OF=$\sqrt{2}$，
∵OM⊥EF，
∴EM=MF，
∵△EFG是等邊三角形，
∴∠GEF=60°，
在Rt△OME中，∵OE=$\sqrt{2}$，∠OEM=$\frac{1}{2}$∠GEF=30°，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{6}$．

點評 本題考查正多邊形與圓、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．