Question

【題目】閱讀下列材料：

某同學遇到這樣一個問題：在平面直角坐標系中，已知直線點在拋物線上，求點到直線的距離．

如圖1，他過點作于點軸分別交軸于點交直線于點．他發現，可求出的長，再利用求出的長，即為點到直線的距離．

　　　　　

請回答：

（1）圖1中， ，點到直線的距離 ．

參考該同學思考問題的方法，解決下列問題:

在平面直角坐標系中，點是拋物線上的一動點，設點到直線的距離為．

（2）如圖2，

①，則點的坐標為 ；

②，在點運動的過程中，求的最小值；

（3）如圖3，，在點運動的過程中，的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）①（0，5）或（3，2）；②；（3）

【解析】

（1）由題意得：d=AB=AD=，即可求解；（2）如設點M的坐標為（m，m2-4m+5），則點N坐標為（m，-m），則由（1）知：d=MH=MN，即可求解；（3）如下圖，點M的坐標為（m，m2-4m+5），則點N坐標為（m，2m-7），由題意得：tanα=2，則d=MH=MNcosα即可求解．

（1）∵點A（1，t）在拋物線y=x2-4x+5上，

∴t=1-4+5=2，

∴點A的坐標為（1，2）．

∵AD∥y軸交直線l于點D，直線l：y=-x，

∴點D的坐標為（1，-1），

∴AD=2-（-1）=3．

∵△ABD為等腰直角三角形，∠ABD=90°，

∴d=AB=AD=．

（2）如圖，過點M作y軸的平行線交直線l于點N，過點M作MH⊥l，交l于點H，設點M的坐標為（m，m2-4m+5），則點N坐標為（m，-m），則MN=m2-3m+5，

，

∵，

∴，

解得：M坐標為（0，5）或（3，2）；

②，

則d的最小值；

（3）如圖，過點M作y軸的平行線交x軸于點G，交直線l于點N，過點M作MH⊥l，交l于點H，

設點M的坐標為（m，m2-4m+5），則點N坐標為（m，2m-7），

由題意得：tanα=2，則，

則d=MH=MN（m2-4m+5-2m+7）= [（m-3）2+3]，

故d的最小值為．