Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（﹣3，0），B（0，1），C（m，n）．

（1）請直接寫出C點坐標．
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移t個單位，B′、C′兩點的對應點、正好落在反比例函數y= 在第一象限內圖象上．請求出t，k的值．
（3）在（2）的條件下，問是否存x軸上的點M和反比例函數y= 圖象上的點N，使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構成平行四邊形？如果存在，請求出所有滿足條件的點M和點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠ADC=∠AOB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵Rt△ABC，∠A=90°，

∴∠DAC+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

在△ADC和△BOA中，

，

∴△ADC≌△BOA（AAS），

∴AD=OB=1，CD=OA=3，

∴OD=OA+AD=4，

∴C點坐標為：（﹣4，3）；

（2）

解：設向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標為（t，1）、C′的坐標為（t﹣4，3），

∵B′、C′正好落在某反比例函數圖象上，

∴t=3（t﹣4），

解得：t=6，

∴B′（6，1），C′（2，3），

∴k=6，

∴反比例函數的解析式為：y=

（3）

解：存在，如圖2，

當MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，

由平行四邊形的對角線互相平分，可知B′C′，MN的中點為同一個點，

即 = ，

∴yN=4代入y= 得xN=1.5，

∴N（1.5，4）；

∵ = ，

∴xM=6.5，

∴M（6.5，0）；

如圖3，

當MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（7，0），N（3，2）；

如圖4，

當MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（﹣7，0），N（﹣3，2）；

綜上所述：存在M（6.5，0），N（1. 5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（﹣7，0），N（﹣3，2），使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構成平行四邊形．

【解析】（1）由在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點坐標；（2）首先設向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標為（t，1）、C′的坐標為（t﹣4，3），由B′、C′正好落在某反比例函數圖象上，即可得t=3（t﹣4），繼而求得m的值，則可求得各點的坐標，于是得到結論；（3）如圖2，當MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖3，當MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖4，當MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，根據中點坐標公式即可得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)．