Question

【題目】△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC. D是BC上任意一點（點D與點B，C都不重合），連接AD，CF⊥AD，交AD于點E，交AB于點F，BG⊥BC交CF的延長線于點G．

（1）依題意補全圖形，并寫出與BG相等的線段．

（2）當點D為線段BC中點時，連接DF ．求證：∠BDF＝∠CDE．

（3）當點C和點F關于直線AD成軸對稱時，直接寫出線段CE，DE，AD三者之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明過程見解答.（3）.

【解析】

（1）如圖1，根據ASA證明△CBG≌△ACD，得BG=DC；
（2）如圖2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再證明△BDF≌△BGF得出結論；
（3）如圖3，作輔助線，分別證明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出結論．

解：（1）BG=DC，理由是：

如圖1，∵∠ACB=90°，

∴∠BCG+∠GCA=90°，

∵CF⊥AD，

∴∠CEA=90°，

∴∠GCA+∠CAD=90°，

∴∠BCG=∠CAD，

∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，

∴△CBG≌△ACD（ASA），

∴BG=DC；

（2）如圖2，由（1）得：△CBG≌△ACD，

∴∠CDE=∠G，

∵D是BC的中點，

∴BD=DC，
∵BG=DC，

∴BG=BD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=45°，

∵∠CBG=90°，

∴∠GBA=45°，

∴∠GBA=∠CBA=45°，

∵BF=BF，

∴△BDF≌△BGF（SAS），

∴∠BDF=∠G，

∴∠BDF=∠CDE；

（3）AD=2DE+2CE，理由是：

如圖3，過C作CM⊥AB于M，交AD于N，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠BCM=∠ACM=45°，

∵點C和點F關于直線AD成軸對稱，

∴AD是CF的中垂線，

∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD，

∴∠DFA=∠ACB=90°，

∵∠CBA=45°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∴BF=DF，

∴BF=DF=CD，

∵AC=AF，∠BAC=45°，

∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，

∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，

∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，

∴∠ECN=∠BCG，

∴△DCE≌△NCE，

∴DC=CN，DE=EN，

∴CN=BF，

∵∠CAD=∠BCG=22.5°，

∵AC=BC，

∴△ACN≌△CBF，

∴CF=AN=2CE，

∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE．