Question

銳角△ABC中，BC=6，，兩動點M,N分別在邊AB,AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y＞0)．

(1)求△ABC中邊BC上高AD；
(2)當x為何值時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；
(3)當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關于x的函數關系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）4；（2）2.4（或）；（3）3，6.

試題分析：（1）本題利用矩形的性質和相似三角形的性質，根據MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．
（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，得出等量關系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達式．
試題解析：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；
（2）當PQ恰好落在邊BC上時，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴,
即
解得，x=2.4（或）
∴當x=2.4（或）時正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上；
（3）設MP、NQ分別與BC相交于點E、F，
設HD=a，則AH=4-a，
由 ，
得，
解得，，
∵矩形MEFN的面積=MN×HD，
∴y=x（）= = （0＜x≤6）．
當x=3時，y最大為6.
考點: 1.二次函數綜合題；2.矩形的性質；3.相似三角形的判定與性質．