Question

【題目】如圖，矩形 的頂點 、、 都在坐標軸上，點 的坐標為 ， 是 邊的中點．

（1）求出點 的坐標和 的周長；（直接寫出結果）

（2）若點 是矩形 的對稱軸 上的一點，使以 、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求出符合條件的點 的坐標；

（3）若 是 邊上一個動點，它以每秒 個單位長度的速度從 點出發，沿 方向向點 勻速運動，設運動時間為 秒．是否存在某一時刻，使以 、、 為頂點的三角形與 相似或全等? 若存在，求出此時 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，周長為；(2)，；(3)存在，或.

【解析】

(1)根據四邊形OABC是矩形和M是BC邊的中點，求出點M的坐標，根據勾股定理求出OM的長，得到△COM的周長；

(2)分以OC，OM為邊的平行四邊形COMQ和以OC，CM為邊的平行四邊形COQM兩種情況討論即可；

(3)分∠PMO=90和∠MPO=90兩種情況，根據相似或全等三角形的性質解答即可．

解：(1)四邊形是矩形，

，．

，為中點，

，，．

在中，，

．

的周長．

點，的周長為．

(2)分情況討論：

當四邊形是以，為邊的平行四邊形，

則，．此時；

當四邊形是以，為邊的平行四邊形，

則點是對稱軸與軸的交點，此時；

綜上所述，符合條件的點的坐標為，．

(3)存在．

如圖．由題意知不可能等于，分兩種情況：

當 時，，

． ．

． ．

當 時，，

．

．

．

綜上所述，當為或時，與相似或全等．

故答案為：(1)，周長為；(2)，；(3)存在，或.