Question

【題目】拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點D 在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D’的坐標;

（3）在（2）的條件下，連結BD，問在x軸上是否存在點P，使，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）（0，-1）

（3）（1,0）（9,0）

【解析】

（1）將A（1，0）、C（0，3）兩點坐標代入拋物線y＝ax2＋bx3a中，列方程組求a、b的值即可；

（2）將點D（m，m1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；

（3）分兩種情形①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．

解：（1）將A（1，0）、C（0，3）代入拋物線y＝ax2＋bx3a中，

得 ，

解得

∴y＝x22x3；

（2）將點D（m，m1）代入y＝x22x3中，得

m22m3＝m1，

解得m＝2或1，

∵點D（m，m1）在第四象限，

∴D（2，3），

∵直線BC解析式為y＝x3，

∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝32＝1，

∴點D關于直線BC對稱的點D'（0，1）；

（3）存在．滿足條件的點P有兩個．

①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，

∵直線BD解析式為y＝3x9，

∵直線CP過點C，

∴直線CP的解析式為y＝3x3，

∴點P坐標（1，0），

②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，

∴∠P′CB＝∠D′BC，

根據對稱性可知∠D′BC＝∠CBD，

∴∠P′CB＝∠CBD，

∵直線BD′的解析式為

∵直線CP′過點C，

∴直線CP′解析式為，

∴P′坐標為（9，0），

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（1，0）或（9，0）．