Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過點O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）已知∠BAO=25°，點Q是弧AmB上的一點.

①求∠AQB的度數；

②若OA=18，求弧AmB的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.

【解析】

(1)連接OB，根據等腰三角形的性質得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根據∠PAO+∠APO=90°，繼而得出∠OBC=90°，問題得證；

(2)①根據等腰三角形的性質可得∠ABO=25°，再根據三角形內角和定理可求得∠AOB的度數，繼而根據圓周角定理即可求得答案；

②根據弧長公式進行計算即可得.

(1)連接OB，

∵CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP，

∵OA⊥OC，

∴∠AOC=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠ABO+∠CBP=90°，

∴∠OBC=90°，

∴BC是⊙O的切線；

(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，

∴∠OBA=∠BAO=25°，

∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，

∴∠AQB=∠AOB=65°；

②∵∠AOB=130°，OB=18，

∴l弧AmB==23π.