Question

【題目】如圖，CD＝4，∠C＝90°，點B在線段CD上，，沿AB所在的直線折疊△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'為腰的等腰三角形，則線段CB的長為_____．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

分BC′＝BD，BC′＝C′D兩種情形分別求解即可．

BC′＝BD時，由折疊可知BC′＝BC=BD=2；

BC′＝C′D時，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中點N，連接CN，設(shè)BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．根據(jù)直角三角形ABC的面積和直角三角形斜邊上的中線得CM＝k，CN＝k，根據(jù)勾股定理求出MN，再證明△CMN∽△C′HB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出k的值，即可得出結(jié)論.

解：當(dāng)BC′＝BD時，BC＝BD＝2．

當(dāng)BC′＝C′D時，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中點N，連接CN．

設(shè)BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．則CM＝k，CN＝k，

∴MN＝ ＝k，

∵∠DBC′+∠CBC′＝180°，∠CAC′+∠CBC′＝180°，

∴∠C′BH＝∠CAC′，

∵NC＝NA＝BN，

∴∠NAC＝∠NCA，

∴∠CNM＝∠NAC+∠NCA＝2∠NAC＝∠CAC′，

∴∠C′BH＝∠CNM，

∵∠CMN＝∠BHC′＝90°，

∴△CMN∽△C′HB，

∴＝ ，

∴ ＝ ，

解得k＝ ，

∴BC＝，

綜上所述，BC的長為2或．

故答案為：2或．