Question

【題目】如圖，中，，點是內一個動點，且滿足，當線段取最小值時，記，線段上一動點繞著點順時針旋轉得到點，且滿足 ，則的最小值為 _____________

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定CD最小時，點D的位置，將DA繞點D逆時針旋轉，得到DG，連接GE，利用SAS即可證出△GDE≌△ADF，從而得出GE=AF，可得當GE⊥AB時，GE最小，即AF最小，然后過點D作DM⊥AB于M，過點G作GH⊥DM交DM的延長線于H，利用相似三角形的判定及性質和全等三角形的判定及性質即可求出結論．

解：∵，

∴∠DBC＋∠ABD=90°

∵，設=

∴∠DAB＋∠ABD=90°

∴∠ADB=90°

∴點D在以AB為直徑的圓上，設圓心為O，半徑為，易知當O、D、C三點共線時CD最小，

∴OD=OB=OA=3，

∴OC=

將DA繞點D逆時針旋轉，得到DG，連接GE，

∴DG=DA，∠GDA=∠EDF=

∴∠GDE=∠ADF

∵DE=DF

∴△GDE≌△ADF

∴GE=AF

∴當GE⊥AB時，GE最小，即AF最小

過點D作DM⊥AB于M，過點G作GH⊥DM交DM的延長線于H

∴DM∥BC，四邊形GHME為矩形

∴△OMD∽△OBC，GE=HM

∴

即

∴DM=，OM=

∴AM=OM＋OA=

∵=，OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=

∴∠BOC=∠ODA＋∠OAD=2

在Rt△OBC中，∠OCB=90°－∠BOC

即=90°－2

∵∠MAD＋∠MDA=90°

∴＋＋∠GDH=90°

∴＋90°－2＋∠GDH=90°

∴∠GDH==∠DAM

∵∠DHG=∠AMD=90°，AD=DG

∴△GDH≌△DAM

∴DH=AM=

∴HM=DH－DM=

∴AF=GE=HM=

即AF的最小值為

故答案為：．