Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+m（m為常數）的圖象與x軸交于A（﹣3，0），與y軸交于點C．以直線x＝﹣1為對稱軸的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a＞0）經過A，C兩點，與x軸正半軸交于點B．
（1）求一次函數及拋物線的函數表達式；

（2）P為線段AC上的一個動點（點P與C、A不重合）過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點D，連接CD，AD，點P的橫坐標為n，當n為多少時，△CDA的面積最大，最大面積為多少？

（3）在對稱軸上是否存在一點E，使∠ACB＝∠AEB？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣2，；（2）時，△CDA的面積最大，最大面積是；（3）E1（﹣1，﹣），E2（﹣1，）．

【解析】

(1)根據待定系數法即可直接求出一次函數解析式，根據A點坐標和對稱軸求出B點坐標，利用交點式即可求出二次函數解析式；

(2)用n可表示P點和D點坐標，則△CDA的面積為PDOA，得到關于n的二次函數表達式，由二次函數的性質可求出面積的最大值；

(3)作△ABC的外接圓⊙M，⊙M與直線x＝﹣1位于x軸下方部分的交點為E1，E1關于x軸的對稱點為E2，則E1、E2均為所求的點，可求出M點的坐標，再由勾股定理求出FE1的長，則點E1的坐標可求出，由對稱性可求得E2的坐標．

(1)∵y＝﹣x+m經過點A(﹣3，0)，

∴0＝2+m，解得m＝﹣2，

∴直線AC解析式為y＝﹣x﹣2，

∴C(0，﹣2)，

∵拋物線y＝ax2+bx+c對稱軸為x＝﹣1，且與x軸交于A(﹣3，0)，

∴另一交點為B(1，0)，設拋物線解析式為y＝a(x+3)(x﹣1)，

∵拋物線經過 C(0，﹣2)，

∴﹣2＝a3×(﹣1)，解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣2；

(2)如圖1，設P(n，-n-2)，D(n，n2+n﹣2)，

∴PD＝-n-2-(n2+n﹣2)= -n2-2n，

∴S△CDA=S△APD+S△PDC=PDOA=×3(-n2-2n)=-n2-3n=-(n+)2+，

∴n=時，△CDA的面積最大，最大面積是；

(3)如圖2，設直線x＝﹣1與x軸的交點為點F，作△ABC的外接圓⊙M，⊙M與直線x＝﹣1位于x軸下方部分的交點為E1，E1關于x軸的對稱點為E2，則E1、E2均為所求的點．

∵∠AE1B、∠ACB都是弧AB所對的圓周角，

∴∠AE1B＝∠ACB，且射線FM上的其它點E都不滿足∠AEB＝∠ACB．

∵圓心M必在AB邊的垂直平分線即直線x＝﹣1上．

∴點M的橫坐標為﹣1．

∵B(1，0)，C(0，﹣2)，

∴設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，解得，

直線BC的解析式為y＝2x﹣2，

∴直線BC的中垂線的解析式為y＝﹣x+m，由直線經過點(，-1)，

∴m＝-，

∴直線BC的中垂線的解析式為y＝﹣x﹣，

∵點M在直線y＝﹣x﹣上，

∴y=﹣﹣=-，

∴M(-1，-)，

∴MA＝，

∴FE1＝=，

∴E1(﹣1，﹣)，

由對稱性得E2(﹣1，)，

∴符合題意的點E的坐標為E1(﹣1，﹣)，E2(﹣1，)．