【題目】在平面直角坐標系xOy中，橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．直線y＝ax與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）圍成的封閉區域（不包含邊界）為W．
（1）求拋物線頂點坐標（用含a的式子表示）；
（2）當a＝
時，寫出區域W內的所有整點坐標；
（3）若區域W內有3個整點，求a的取值范圍．
【答案】（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）區域W內有3個整點，a的取值范圍為：a＝
或﹣
≤a＜﹣1
【解析】
（1）將拋物線化成頂點式表達式即可求解；
（2）概略畫出直線y＝
x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象，通過觀察圖象即可求解；
（3）分a＞0、a＜0兩種情況，結合（2）的結論，逐次探究即可求解．
解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故頂點的坐標為：（1，﹣a﹣1）；
（2）a＝時，概略畫出直線y＝x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象如下：
從圖中看，W區域整點為如圖所示4個黑點的位置，
其坐標為：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；
（3）①當a＞0時，
由（2）知，當a＝時，區域W內的所有整點數有4個；
參考（2）可得：當a＞時，區域W內的所有整點數多于3個；
當
a
時，區域W內的所有整點數有4個；
同理當a＝時，區域W內的所有整點數有3個；
當0＜a＜時，區域W內的所有整點數多于3個；
②當a＜0時，
當﹣1≤a＜0時，區域W內的所有整點數為0個；
當a＜﹣時，區域W內的所有整點數多于3個；
∴區域W內有3個整點時，a的取值范圍為：﹣≤a＜﹣1，
綜上，區域W內有3個整點，a的取值范圍為：a＝或﹣≤a＜﹣1．
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【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若點E是AB的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
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【題目】如圖，CD＝4，∠C＝90°，點B在線段CD上，
，沿AB所在的直線折疊△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'為腰的等腰三角形，則線段CB的長為_____．
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【題目】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點
， ，當點
滿足
， 時，則稱點
為點
，的“四合點”．例如：
，當點滿足
，則點
為點，的“四合點”．
若點
，則點的“四合點” 的坐標為
如圖，點
，點
是直線
上一點，點為點
的“四合點”，
①請求出
關于
的函數關系式；
②已知點
，在直線
上是否存在點
，使得
與
相似，若存在，請求出此時點
的坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖,拋物線
與
軸交于A、B兩點,與
軸交于點C，拋物線的對稱軸交軸于點D，已知點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,2)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在,請說明理由．
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【題目】如圖，在菱形ABCD中，BE⊥CD于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：BF＝DE；
（2）分別延長BE和AD，交于點G，若∠A＝45°，求
的值．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的一邊在x軸上，反比例函數
的圖象經過菱形對角線的交點，且與AB所在直線交于點D，已知
，
，則以下結論：①
；②點D的縱坐標為
；③
．其中正確的個數有
A.0個B.1個C.2個D.3個
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【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，點D在AB邊上，△CDE是等邊三角形．
（1）如圖1，當點E在AB邊上時，CE與BE有何數量關系，請說明理由；
（2）如圖2，當點E在△ABC內時，猜想CE與BE的數量關系，并加以證明；
（3）再另畫一種情況，寫出相應結論．（不用證明）
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