Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（﹣6，0），B點坐標為（4，0），點D為BC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點B的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；
（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上是否存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+8經過點A（﹣6，0），B（4，0），

∴

解得

∴拋物線的解析式是：y=x2﹣x+8．

（2）

解：如圖①，作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，

設G點的坐標為（﹣1，n），

由翻折的性質，可得BD=DG，

∵B（4，0），C（0，8），點D為BC的中點，

∴點D的坐標是（2，4），

∴點M的坐標是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，

∵B（4，0），C（0，8），

∴BC==，

∴，

在Rt△GDM中，

32+（4﹣n）2=20，

解得n=4±，

∴G點的坐標為（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．

（3）

解：拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

①當CD∥EF，且點E在x軸的正半軸時，如圖②，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），

設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），

則

解得

∴點F的坐標是（﹣1，4），點E的坐標是（1，0）．

②當CD∥EF，且點E在x軸的負半軸時，如圖③，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），

設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），

則

解得

∴點F的坐標是（﹣1，﹣4），點E的坐標是（﹣3，0）．

③當CE∥DF時，如圖④，

，

由（2），可得點D的坐標是（2，4），

設點E的坐標是（c，0），點F的坐標是（﹣1，d），

則

解得

∴點F的坐標是（﹣1，12），點E的坐標是（3，0）．

綜上，可得

拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

點F的坐標是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【解析】（1）根據拋物線y=ax2+bx+8經過點A（﹣6，0），B（4，0），應用待定系數法，求出拋物線的解析式即可．
（2）首先作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，設G點的坐標為（﹣1，n），根據翻折的性質，可得BD=DG；然后分別求出點D、點M的坐標各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根據勾股定理，求出n的值，即可求出G點的坐標．
（3）根據題意，分三種情況：①當CD∥EF，且點E在x軸的正半軸時；②當CD∥EF，且點E在x軸的負半軸時；③當CE∥DF時；然后根據平行四邊形的性質，求出點F的坐標各是多少即可．