Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0）和點B（4，0），且與y軸交于點C，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標；
（3）當m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），B（4，0）兩點的坐標代入y=ax2+bx+2中，可得

解得

∴拋物線的解析式為：y=x2+x+2．

（2）

解：∵拋物線的解析式為y=x2+x+2，

∴點C的坐標是（0，2），

∵點A（﹣1，0）、點D（2，0），

∴AD=2﹣（﹣1）=3，

∴△CAD的面積=，

∴△PDB的面積=3，

∵點B（4，0）、點D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或﹣3，

①當n=3時，

m2+m+2=3，

解得m=1或m=2，

∴點P的坐標是（1，3）或（2，3）．

②當n=﹣3時，

m2+m+2=﹣3，

解得m=5或m=﹣2，

∴點P的坐標是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．

綜上，可得

點P的坐標是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．

（3）

解：如圖1，

設BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

∵點C的坐標是（0，2），點B的坐標是（4，0），

∴

解得

∴BC所在的直線的解析式是：y=x+2，

∵點P的坐標是（m，n），

∴點F的坐標是（4﹣2n，n），

∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣）2+，

∵n＞0，

∴當n=時，線段EG的最小值是：，

即線段EG的最小值是．

【解析】（1）根據拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0）和點B（4，0），應用待定系數法，求出該拋物線的解析式即可．
（2）首先根據三角形的面積的求法，求出△CAD的面積，即可求出△PDB的面積，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，據此判斷出n=3或﹣3，再把它代入拋物線的解析式，求出x的值是多少，即可判斷出點P的坐標．
（3）首先應用待定系數法，求出BC所在的直線的解析式是多少；然后根據點P的坐標是（m，n），求出點F的坐標，再根據二次函數最值的求法，求出EG2的最小值是多少，即可求出線段EG的最小值．