Question

【題目】如圖，反比例函數y= 的圖象與一次函數y= x的圖象交于點A、B，點B的橫坐標是4．點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點，且在直線AB的上方．

（1）若點P的坐標是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；
（2）設直線PA、PB與x軸分別交于點M、N，求證：△PMN是等腰三角形；
（3）設點Q是反比例函數圖象上位于P、B之間的動點（與點P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：k=4，S△PAB=15．

提示：過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，

設AP與y軸交于點C，如圖1，

把x=4代入y= x，得到點B的坐標為（4，1），

把點B（4，1）代入y= ，得k=4．

解方程組 ，得到點A的坐標為（﹣4，﹣1），

則點A與點B關于原點對稱，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP．

設直線AP的解析式為y=mx+n，

把點A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

求得直線AP的解析式為y=x+3，

則點C的坐標（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OCAR+ OCPS

= ×3×4+ ×3×1= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15；

（2）

解：過點P作PH⊥x軸于H，如圖2．

B（4，1），則反比例函數解析式為y= ，

設P（m， ），直線PA的方程為y=ax+b，直線PB的方程為y=px+q，

聯立 ，解得直線PA的方程為y= x+ ﹣1，

聯立 ，解得直線PB的方程為y=﹣ x+ +1，

∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），

∴H（m，0），

∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）

解：∠PAQ=∠PBQ．

理由如下：

過點Q作QT⊥x軸于T，設AQ交x軸于D，QB的延長線交x軸于E，如圖3．

可設點Q為（c， ），直線AQ的解析式為y=px+q，則有

，

解得： ，

∴直線AQ的解析式為y= x+ ﹣1．

當y=0時， x+ ﹣1=0，

解得：x=c﹣4，

∴D（c﹣4，0）．

同理可得E（c+4，0），

∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，

∴DT=ET，

∴QT垂直平分DE，

∴QD=QE，

∴∠QDE=∠QED．

∵∠MDA=∠QDE，

∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，

∴∠PAQ=∠PBQ．

【解析】（1）過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，設AP與y軸交于點C，如圖1，可根據條件先求出點B的坐標，然后把點B的坐標代入反比例函數的解析式，即可求出k，然后求出直線AB與反比例函數的交點A的坐標，從而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面積，只需求△PAO的面積，只需用割補法就可解決問題；（2）過點P作PH⊥x軸于H，如圖2．可用待定系數法求出直線PB的解析式，從而得到點N的坐標，同理可得到點M的坐標，進而得到MH=NH，根據垂直平分線的性質可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）過點Q作QT⊥x軸于T，設AQ交x軸于D，QB的延長線交x軸于E，如圖3．可設點Q為（c， ），運用待定系數法求出直線AQ的解析式，即可得到點D的坐標為（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），從而得到DT=ET，根據垂直平分線的性質可得QD=QE，則有∠QDE=∠QED．然后根據對頂角相等及三角形外角的性質，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
【考點精析】利用確定一次函數的表達式和三角形的面積對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；三角形的面積=1/2×底×高．