Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點E在BC上，以CE為直徑的⊙O交AB于點F，AO∥EF
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）如圖2，連結CF交AO于點G，交AE于點P，若BE=2，BF=4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OF，如圖，

∵OA∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵OE=OF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△AOC和△AOF中

，

∴△AOC≌△AOF，

∴∠ACO=∠AFO=90°，

∴OF⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OFB中，設OE=OF=r，

∵OF2+BF2=OB2，

∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，

∴OB=5，

∴OA∥EF，

∴△BEF∽△BOA，

∴ = = ，

∵EF∥OA，

∴△PEF∽△PAO，

∴ = = ，

∴ = ．

【解析】（1）連接OF，如圖，利用平行線的性質得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，再證明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根據切線的判定定理可得到結論；（2）在Rt△OFB中，設OE=OF=r，利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2 ， 解得r=3，則OB=5，再證明△BEF∽△BOA得到 = = ，然后證明△PEF∽△PAO，利用相似比可得到 的值．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．