Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C，點D為AP的中點，連結AC．求證：
（1）∠P=∠BAC
（2）直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACP=90°，

∴∠P+∠CAP=90°，

∵AP⊙O是切線，

∴∠BAP=90°，

即∠CAP+∠BAC=90°

∴∠P=∠BAC；

（2）解：∵CD是Rt△PAC斜邊PA的中線，

∴CD=AD，

∴∠DCA=∠DAC，

連接OC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DCO=∠DAO=90°，

∴CD是⊙O的切線．

【解析】（1）要證明∠P=∠BAC，只要證明∠CAP+∠BAC=∠P+∠CAP即可，根據題目中的條件可以證明它們相等，從而可以解答本題；（2）要證明直線CD是⊙O的切線，只要證明∠OCD=90°即可，根據題目中的條件和（1）中的結論可以證明∠OCD=90°，從而可以解答本題．