Question

16．閱讀理解題：小聰是個非常熱愛學習的學生，老師在黑板上寫了一題：若方程x²-6x-k-1=0與x²-kx-7=0有相同根，試求k的值及相同根．思考片刻后，小聰解答如下：
解：設相同根為m，根據題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-6m-k-1=0，①}\\{{m}^{2}-km-7=0，②}\end{array}\right.$
①-②，得（k-6）m=k-6      ③
顯然，當k=6時，兩個方程相同，即兩個方程有兩個相同根-1和7；當k≠6時，由③得m=1，代入②式，得k=-6，此時兩個方程有一相同根x=1．
∴當k=-6時，有一相同根x=1；當k=6時，有兩個相同根是-1和7
聰明的同學，請你仔細閱讀上面的解題過程，解答問題：已知k為非負實數，當k取什么值時，關于x的方程x²+kx-1=0與x²+x+k-2=0有相同的實根．

Answer 1

分析 兩個方程有一個相同的實數根，則設相同的實數根為a，代入到兩方程進行解答，可求出k的值．求出k值后要驗證兩方程是否有相同的實數根．

解答 解：設相同實根是a 則a²+ka-1=0，a²+a+k-2=0，
相減得（k-1）a-1-k+2=0，即（k-1）a=k-1，
若k=1，則兩個方程都是x²+x-1=0，有兩個相同的根$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．
若k≠1，則a=$\frac{k-1}{k-1}$=1，即相同實根是x=1，
代入方程，得1²+k×1-1=0，k=0，
綜上當k=0或k=1時，關于x的方程x²+kx-1=0與x²+x+k-2=0有相同的實根．

點評 本題考查了一元二次方程的解，此題有兩個關鍵點，一個是要設出兩個方程的相同實數根，代入運算．另外一根為驗證所求得的k值是否符合題意．