Question

19．如圖，拋物線y=a²+bx+c（a＞0）交x軸于A（4，0）、B（8，0）兩點，交y軸于點C，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動直線EF（EF∥x軸）從點C開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸負方向平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．連結FP，設運動時間t秒．
①當t為何值時，$\frac{EF•OP}{EF+OP}$的值最大，并求出最大值；
②設AC與EF交于點M，求當t為何值時，M、P、A、F所圍成的圖形是平行四邊形？等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由OB=8、$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$知點C（0，4），再根據點A、B坐標待定系數法求解可得；
（2）①由題意得CE=t、BP=2t、OP=8-2t（0≤t≤4），利用△CEF∽△COB得EF=2t，從而有$\frac{EF•OP}{EF+OP}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，即可得出答案；
②求得直線AC的解析式y=-x+4，根據EF∥x軸得出EM=MF=t、AP=OB-OA-BP=4-2t，然后分別利用平行四邊形，等腰直角三角形的性質即可的關于t的方程解決問題．

解答 解：（1）∵OB=8，$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4，即點C（0，4），
設拋物線解析式為y=a（x-4）（x-8），
將點C（0，4）代入得32a=4，解得：a=$\frac{1}{8}$，
則拋物線解析式為y=$\frac{1}{8}$（x-4）（x-8）=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；

（2）①由題意知CE=t，BP=2t （0≤t≤4），
則OP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴$\frac{CE}{CO}$=$\frac{EF}{OB}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{EF}{8}$，
∴EF=2t，
則$\frac{EF•OP}{EF+OP}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴當t=2時，$\frac{EF•OP}{EF+OP}$的值最大，最大值為2；
②根據①得BP=2t，MF∥AP，
又直線AC經過A（4，0），C（0，4），
那么其解析式為：y=-x+4，
而動直線EF（EF∥x軸）從點C開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸負方向平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點，AC與EF交于點M，M的縱坐標為4-t，
∴M的橫坐標為t，
∵EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所圍成的圖形是平行四邊形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=$\frac{4}{3}$；
若M、P、A、F所圍成的圖形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數法求拋物線的解析式、相似三角形的性質與判定、平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．