Question

【題目】已知：拋物線．

（1）求證：拋物線與軸有兩個交點．

（2）設拋物線與軸的兩個交點的橫坐標分別為，（其中）．若是關于的函數、且，求這個函數的表達式；

（3）若，將拋物線向上平移一個單位后與軸交于點、．平移后如圖所示，過作直線，分別交的正半軸于點和拋物線于點，且．是線段上一動點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）的最小值

【解析】

（1）通過計算判別式的值，即可得到結論；

（2）根據一元二次方程的求根公式，用含a的代數式表示拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，，即可得到答案；

（3）易得直線，然后聯立：，求出點C的坐標，過作軸于點N，過作于點，過作軸于點，把的最小值化為2(MB+GM)的最小值，即可得到答案．

（1）∵，

，

，

∴拋物線與軸有兩個交點；

（2）令，則，

或，

，

且，

，，

，即：；

（3）當，則，向上平移一個單位得：．

令，則得：，

，，

，

直線，

聯立： ，解得：，，

即，

過作軸于點N，過作于點，過作軸于點，

軸，

∴，

，

，

∵MB+GM≥CH，

的最小值=CH=，

的最小值=．