Question

【題目】如圖1，在菱形中，，.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）.

（1）菱形對(duì)角線的長(zhǎng)為 ；

（2）當(dāng)點(diǎn)恰在上時(shí)，求t的值；

（3）當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)；

（4）直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

(1)連接BD,利用菱形的性質(zhì)可得,即可利用特殊直角三角形邊長(zhǎng)比解出AC.

(2)利用條件證明,列出等式即可算出t的值.

(3)①當(dāng)P是BC中點(diǎn),作AE⊥BC,根據(jù)條件求出△AQP的周長(zhǎng)即可求出△ABP的周長(zhǎng);②當(dāng)P是CD中點(diǎn),連接BD,利用等邊三角形的性質(zhì)求出周長(zhǎng)即可.

(4)利用弧長(zhǎng)公式求出即可.

解：（1）如圖，連接交于，

∵菱形中，，，

∴，

∴，，

∴，

故答案為：；

（2）如圖，菱形中，，

∴，

又∵是萎形的對(duì)角線，

∴，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

∴，

∴，，，

∴，，

即，

解得；

（3）當(dāng)時(shí)，有兩種情況：點(diǎn)是的中點(diǎn)；點(diǎn)是的中點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，如圖，過作于，

在中，,

∴，，

在中，，，

∴.

∴的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，如圖，連接，則是等邊三角形，

∴，

在中，，

與①同理，得，

∴的周長(zhǎng)；

（4）由題可得，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為以點(diǎn)為圓心，6為半徑，圓心角為的弧，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.