Question

【題目】如圖，是的直徑，是的切線，切點為，交于點，點是的中點.

(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；

(2)若的半徑為2，，，求圖中陰影部分的周長.

Answer 1

【答案】(1)直線與相切；理由見解析；(2).

【解析】

（1）連接OE、OD，根據切線的性質得到∠OAC=90°，根據三角形中位線定理得到OE∥BC，證明△AOE≌△DOE，根據全等三角形的性質、切線的判定定理證明；

（2）根據切線長定理可得DE=AE=2.5，由圓周角定理可得∠AOD=100°，然后根據弧長公式計算弧AD的長，從而可求得結論．

解：（1）直線DE與⊙O相切，

理由如下：連接OE、OD，如圖，

∵AC是⊙O的切線，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵點E是AC的中點，O點為AB的中點，

∴OE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3，

∵OB=OD，

∴∠B=∠3，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△DOE中

∵OA=OD

∠1=∠2

OE=OE，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴DE⊥OD，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵DE、AE是⊙O的切線，

∴DE=AE，

∵點E是AC的中點，

∴DE=AE=AC=2.5，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴陰影部分的周長=．