Question

【題目】某玩具專柜要經營一種新上市的兒童玩具，進價為20元，試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）寫出專柜銷售這種玩具，每天所得的銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）求銷售單價為多少元時，該玩具每天的銷售利潤最大；
（3）專柜結合上述情況，設計了A、B兩種營銷方案： 方案A：該玩具的銷售單價高于進價且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件玩具的利潤至少為25元．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：

w=（x﹣20）（250﹣10x+250）

=﹣10x2+700x﹣10000；

（2）解：w=﹣10x2+700x﹣10000

=﹣10（x﹣35）2+2250，

所以，當x=35時，w有最大值2250，

即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大；

（3）解：方案A：由題可得20＜x≤30，

因為a=﹣10＜0，對稱軸為x=35，

拋物線開口向下，在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，

所以，當x=30時，w取最大值為2000元，

方案B：由題意得： ，

解得：45≤x≤49，

在對稱軸右側，w隨x的增大而減小，

所以，當x=45時，w取最大值為1250元，

因為2000元＞1250元，

所以選擇方案A．

【解析】（1）直接利用每件利潤×銷量=總利潤，進而得出函數關系式；（2）直接利用配方法求出二次函數最值即可；（3）首先得出x的取值范圍，進而利用二次函數增減性得出利潤的最值．