Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，點的坐標為，當時，點坐標為；當時，點坐標為，則稱點為點的分變換點（其中為常數）．例如：的0分變換點坐標為．

（1）點的1分變換點坐標為 ；點的1分變換點在反比例函數圖像上，則 ；若點的1分變換點直線上，則 ；

（2）若點在二次函數的圖像上，點為點的3分變換點．

①直寫出點所在函數的解析式；

②求點所在函數的圖像與直線交點坐標；

③當時，點所在函數的函數值，直接寫出的取值范圍；

（3）點，，若點在二次函數的圖像上，點為點的分變換點．當點所在函數的圖像與線段有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（－5，－7），4，8；（2）①點Q所在函數的關系式為；②交點坐標為（－4，－5）或（，－5）；③t的取值范圍為；（3）或或．

【解析】

（1）根據題意給的定義，即可得到答案；

（2）①設點Q的坐標為（a，b），分情況討論，然后用a，b表示P的坐標，代入函數關系式整理變形即可；

②將y＝－5代入函數關系式求解即可；

③先畫出函數圖像，結合函數圖像找到相應的端點，求出端點坐標即可判斷t的取值范圍；

（3）先求出Q所在的函數關系式，再畫出相應的函數圖像分情況討論，分別討論當函數經過端點A、B及函數圖像的頂點在線段AB上時的m的值，進而可得m的取值范圍．

解：（1）∵5＞1，

∴（5，7）的1分變換點為（－5，－7），

∵1≤1，

∴（1，6）的1分變換點為（－1，－4）

將（－1，－4）代入，得k＝4，

當a－1＞1時，（a－1，5）的1分變換點為（1－a，－5）

將（1－a，－5）代入y＝x＋2得，－5＝1－a＋2，

解得a＝8，

當a－1≤1時，（a－1，5）的1分變換點為（1－a，－3）

將（1－a，－3）代入y＝x＋2得，－3＝1－a＋2，

解得a＝6，（舍去）

∴a＝8，

故答案為：（－5，－7），4，8；

（2）①設點Q的坐標為（a，b）

當x＞3時，若點P的3分變換點為Q（a，b），則a＝－x，b＝－y，

∴x＝－a，y＝－b，

將x＝－a，y＝－b代入

得，

整理得：，

∴點Q所在函數的關系式為（x＜－3），

當x≤3時，若點P的3分變換點為Q（a，b），則a＝－x，b＝－y＋2，

∴x＝－a，y＝－b＋2

將x＝－a，y＝－b＋2代入

得，

整理得：，

∴點Q所在函數的關系式為（x≥－3），

綜上所述，點Q所在函數的關系式為

②將y＝－5代入得

解得：（舍去）

將y＝－5代入得

解得：（舍去）

綜上所述，點所在函數的圖像與直線交點坐標為（－4，－5）或（，－5）

③如圖，

由②可知經過點（－4，－5）

∵

所以此拋物線的頂點坐標為（－1，6），

將x＝－3代入得y＝0，

將y＝0代入得（舍去）

∵當時，點所在函數的函數值，

∴t的取值范圍為；

（3）∵

∴

∵點在二次函數的圖像上，

∴點Q在函數的圖像上，

當m＞0時，

如圖，當經過點A（－3，－1）時

則

解得（舍去）

如圖，當的頂點在線段AB上時，

則，

解得（舍去）

∴，

如圖，當的端點落在線段AB上時，

將代入

得

解得：（舍去）

如圖，當經過點B（2，－1）時

則

解得：（舍去）

∴，

如圖，當經過點B（2，－1）時

則

解得：（舍去）

如圖，當的頂點在線段AB上時，

則

解得：（舍去）

∴，

綜上所述，m的取值范圍為：或或．