Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以每秒2cm的速度移動，同時點Q從點D出發沿DA邊向點A以每秒1cm的速度移動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為t秒．回答下列問題：

(1)如圖①，幾秒后△APQ的面積等于5cm2．

(2)如圖②，若以點P為圓心，PQ為半徑作⊙P．在運動過程中，是否存在t值，使得點C落在⊙P上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(3)如圖③，若以Q為圓心，DQ為半徑作⊙Q，當⊙Q與AC相切時

①求t的值．

②如圖④，若點E是此時⊙Q上一動點，F是BE的中點，請直接寫出CF的最小值．

Answer 1

【答案】(1)1秒后△APQ的面積為5；(2)當t＝﹣10+2時，點C落在⊙P上；(3)①；②CF的最小值為．

【解析】

（1）利用三角形的面積公式構建方程即可解決問題．

（2）如圖②中，連接PC，根據PQ=PC，利用勾股定理構建方程即可解決問題．

（3）①如圖③中，設⊙Q與AC相切于點H，連接QH．在Rt△AQH中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．

②如圖④中，連接QE，BQ，取BQ的中點M，連接FM，CM，作MN⊥CD于N．求出CM，MF，根據CF≥CM-MF可即可解決問題．

(1)由題意：AP＝2t，DQ＝t．則AQ＝6﹣t．

則×2t(6﹣t)＝5，

整理得t2﹣6t+5＝0，

解得t＝1或5(舍棄)，

∴1秒后△APQ的面積為5．

(2)如圖②中，連接PC．

∵⊙P經過點C，

∴PQ＝PC，

∵PA2+AQ2＝PB2+BC2，

∴4t2+(6﹣t)2＝(8﹣2t)2+62，

解得t＝﹣10+2或﹣10﹣2 (舍棄)，

∴當t＝﹣10+2時，點C落在⊙P上．

(3)①如圖③中，設⊙Q與AC相切于點H，連接QH．

∵CD、CH是圓的切線，

∴CD＝CH＝8，

∵QD＝QH＝t，AC＝＝10，

∴AH＝2，

∵QH⊥AC，

∴∠AHQ＝90°，

∴AQ2＝HQ2+AH2，

∴(6﹣t)2＝t2+22，

∴t＝，

∴t＝時，⊙Q與AC相切．

②如圖④中，連接QE，BQ，取BQ的中點M，連接FM，CM，作MN⊥CD于N．

∵MQ＝MB，FB＝FE，

∴FMEQ＝DQ＝，

∵AD∥MN∥BC，QM＝MB，

∴DN＝NC＝4，MN＝ (DQ+BC)＝，

∴CM＝＝＝，

∵CF≥CM﹣FN，

∴CF≥，

∴CF的最小值為．