Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，點P是半徑OB上一動點（不與O，B重合），過點P作射線l⊥AB，分別交弦BC，于D、E兩點，在射線l上取點F，使FC＝FD．

（1）求證：FC是⊙O的切線；

（2）當點E是的中點時，

① 若∠BAC＝60°，判斷以O，B，E，C為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；

② 若，且AB＝20，求OP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①以O，B，E，C為頂點的四邊形是菱形．理由見解析，②6.

【解析】

（1）連接OC，根據等邊對等角及∠OBC+∠BDP＝90°，證明∠OCB+∠FCD＝90°即可；

（2）①四邊形BOCE是菱形，證明△BOE，△OCE均為等邊三角形，得到四條邊相等，進而證明四邊形BOCE是菱形；

②由，可求得AC＝12，BC＝16，由垂徑定理可求出BH；利用三角形面積的不同表示方法求得PE＝8，再利用勾股定理可求出OP的長．

解：（1）證明：連接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵PF⊥AB，

∴∠BPD＝90°，

∴∠OBC+∠BDP＝90°，

∵FC＝FD

∴∠FCD＝∠FDC

∵∠FDC＝∠BDP

∴∠OCB+∠FCD＝90°

∴OC⊥FC

∴FC是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接OC，OE，BE，CE，

①以O，B，E，C為頂點的四邊形是菱形．

理由如下：

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，

∵點E是的中點，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE＝OC，

∴△BOE，△OCE均為等邊三角形，

∴OB＝BE＝CE＝OC，

∴四邊形BOCE是菱形；

②∵，設AC＝3k，BC＝4k（k＞0），

由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，

∴AC＝12，BC＝16，

∵點E是的中點，

∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，

∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，

由勾股定理得OP＝＝＝6.