Question

1．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板與兩直角邊分別交于D，E兩點．
（1）圖1中，線段PD與PE的數量關系是PD=PE．
（2）在旋轉過程中，判斷△PDE的形狀，并給予證明．
（3）在旋轉過程中，四邊形PDCE的面積是否發生變化，若不變，求出面積的值（用含a的式子表示）；若改變，請說明理由．
（4）在旋轉過程中，當S_△DPE=S_△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）連接PC，根據等腰直角三角形的性質，判定△DCP≌△EBP（ASA），即可得出PD=PE；
（2）根據全等三角形的性質得到PD=PE，再根據∠DPE=90°，即可得到△PDE是等腰直角三角形；
（3）根據△DCP≌△EBP，可得S_△DCP=S_△EBP，再根據四邊形PDCE的面積=S_△DCP+S_△ECP=S_△EBP+S_△ECP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC進行計算即可；
（4）先根據S_△DPE=S_△DCE，DE=2$\sqrt{2}$，求得S_△DCE=2，設DC=x，CE=y，則BE=x，根據Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x²+y²=（2$\sqrt{2}$）²，可得（x+y）²=16，據此可得x+y=4，即BE+CE=4，進而得到a的值．

解答 解：（1）連接PC，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，P為AB的中點，
∴CP⊥AB，CP=$\frac{1}{2}$AB=BP，∠DCP=∠B=45°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△DCP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{CP=BP}\\{∠DCP=∠B}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△EBP（ASA），
∴PD=PE，CD=BE，
故答案為：PD=PE；

（2）△PDE的形狀為等腰直角三角形，
證明：由（1）可得，PD=PE，
又∵∠DPE=90°，
∴△PDE是等腰直角三角形；

（3）四邊形PDCE的面積不發生變化．
理由：由（1）可得，△DCP≌△EBP，
∴S_△DCP=S_△EBP，
∴四邊形PDCE的面積=S_△DCP+S_△ECP=S_△EBP+S_△ECP=S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{4}$a²，
∴四邊形PDCE的面積為定值$\frac{1}{4}$a²；

（4）如圖3，∵△PDE是等腰直角三角形，DE=2$\sqrt{2}$，
∴DP=EP=2，
∴S_△DPE=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△DCE=2，
設DC=x，CE=y，則BE=x，
∵Rt△DCE中，$\frac{1}{2}$xy=2，x²+y²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴（x+y）²=16，
∵x+y＞0，
∴x+y=4，
即BE+CE=4，
∴a的值為4．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，依據全等三角形的對應邊相等進行求解．解題時注意，等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．