Question

10．觀察下列方程以及解的特征：
①x+$\frac{1}{x}$=2+$\frac{1}{2}$的解為x₁=2$，{x_2}=\frac{1}{2}$；
②x+$\frac{1}{x}$=3+$\frac{1}{3}$的解為x₁=3$，{x_2}=\frac{1}{3}$；
③x+$\frac{1}{x}$=4+$\frac{1}{4}$的解為x₁=4$，{x_2}=\frac{1}{4}$；
…
（1）猜想關于x方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$的解，并利用“方程解的概念”進行驗證；
（2）利用（1）結論解分式方程：
①y³+$\frac{1}{y^3}$=$\frac{65}{8}$
②x+$\frac{1}{4x-8}$=$\frac{{{a^2}+4a+1}}{2a}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$的解為x₁=m，x₂=$\frac{1}{m}$，代入檢驗即可得；
（2）①根據y³+$\frac{1}{y^3}$=8+$\frac{1}{8}$可得y³=8，$\frac{1}{{y}^{3}}$=$\frac{1}{8}$，可得答案；
②令4x-8=t，則x=$\frac{t+8}{4}$，原方程變形為$\frac{t}{4}$+2+$\frac{1}{t}$=$\frac{{{a^2}+4a+1}}{2a}$，即$\frac{t}{2}$+$\frac{2}{t}$=a+$\frac{1}{a}$，得出$\frac{t}{2}$=a，即t=2a，得出2x-4=2a，解之可得．

解答 解：（1）關于x方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$的解為x₁=m，x₂=$\frac{1}{m}$，
驗證：當x=m時，左邊=m+$\frac{1}{m}$=右邊，∴x=m是該分式方程的解；
當x=$\frac{1}{m}$時，左邊=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{m}$+m=右邊，∴x=$\frac{1}{m}$是該分式方程的解；

（2）①∵y³+$\frac{1}{y^3}$=8+$\frac{1}{8}$，
∴y³=8，$\frac{1}{{y}^{3}}$=$\frac{1}{8}$，
∴y=2；
②令4x-8=t，則x=$\frac{t+8}{4}$，
∴原方程變形為$\frac{t}{4}$+2+$\frac{1}{t}$=$\frac{{{a^2}+4a+1}}{2a}$，
$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$=$\frac{{a}^{2}+1}{2a}$，
$\frac{t}{2}$+$\frac{2}{t}$=$\frac{{a}^{2}+1}{a}$，即$\frac{t}{2}$+$\frac{2}{t}$=a+$\frac{1}{a}$，
則$\frac{t}{2}$=a，或$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{a}$，
∴t=2a，
即4x-8=2a，
解得：x=$\frac{2a+8}{4}$=$\frac{a+4}{2}$．

點評 本題主要考查解分式方程，熟練掌握換元法解分式方程式解題的關鍵．