Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD．

（1）由AB，BD，圍成的曲邊三角形的面積是 ；

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OD，由AB是直徑知∠ACB=90°，結合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=45°，從而知∠AOD=90°，根據曲邊三角形的面積=S扇形AOD+S△BOD可得答案；

（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根據DE∥AB可得OD⊥DE，即可得證；

（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四邊形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即，求得EF的長即可得．

解：（1）如圖，連接OD．∵AB是直徑，且AB=10，

∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5．

∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，

∴∠AOD=90°，則曲邊三角形的面積是

S扇形AOD+S△BOD=+×5×5=．

故答案為；

（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．

∵DE∥AB，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8．

過點A作AF⊥DE于點F，則四邊形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，

∴tan∠EAF=tan∠CBA，

∴，即，

∴EF=，

∴DE=DF+EF=+5=．