Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過點A（﹣2，0），B（2，2），與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+2的函數表達式；
（2）若點D在拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸上，求△ACD的周長的最小值；
（3）在拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是直角三角形？若存在直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（﹣2，0），B（2，2）代入拋物線y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴拋物線函數表達式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；

∴對稱軸是：直線x=1，

如圖1，過B作BE⊥x軸于E，

∵C（0，2），B（2，2），對稱軸是：x=1，

∴C與B關于x=1對稱，

∴CD=BD，

連接AB交對稱軸于點D，此時△ACD的周長最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB= =2 ，

AC= =2 ，

∴△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；

答：△ACD的周長的最小值是2 +2

（3）

解：存在，

分兩種情況：

①當∠ACP=90°時，△ACP是直角三角形，如圖2，

過P作PD⊥y軸于D，

設P（1，y），

則△CGP∽△AOC，

∴ ，

∴ ，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

②當∠CAP=90°時，△ACP是直角三角形，如圖3，

設P（1，y），

則△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴ = ，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

綜上所述，△ACP是直角三角形時，點P的坐標為（1，1）或（1，﹣3）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線的函數表達式；（2）由軸對稱的最短路徑得：因為B與C關于對稱軸對稱，所以連接AB交對稱軸于點D，此時△ACD的周長最小，利用勾股定理求其三邊相加即可；（3）存在，當A和C分別為直角頂點時，畫出直角三角形，設P（1，y），根據三角形相似列比例式可得P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．