Question

【題目】如圖所示，Rt△PAB的直角頂點P（3，4）在函數y= （x＞0）的圖象上，頂點A、B在函數y= （x＞0，0＜t＜k）的圖象上，PA∥x軸，連接OP，OA，記△OPA的面積為S△OPA ， △PAB的面積為S△PAB ， 設w=S△OPA﹣S△PAB ． ①求k的值以及w關于t的表達式；
②若用wmax和wmin分別表示函數w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a為實數，求Tmin ．

Answer 1

【答案】解：①∵點P（3，4）， ∴在y= 中，當x=3時，y= ，即點A（3， ），
當y=4時，x= ，即點B（ ，4），
則S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），
如圖，延長PA交x軸于點C，

則PC⊥x軸，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t，
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
∴wmax= ，
則T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
∴當a= 時，Tmin= ．
【解析】（1）由點P的坐標表示出點A、點B的坐標，從而得S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根據反比例系數k的幾何意義知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）將（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
【考點精析】掌握比例系數k的幾何意義是解答本題的根本，需要知道幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積．