Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設點E、F、G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t=s時，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實數t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2.5
（2）

解：分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有 ，即 ，

解得：t=2.8；

②若△EBF∽△GCF，

則有 ，即 ，

解得：t=﹣14﹣2 （不合題意，舍去）或t=﹣14+2 ．

∴當t=2.8s或t=（﹣14+2 ）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似

（3）

解：假設存在實數t，使得點B′與點O重合．

如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：52+（6﹣3t）2=（3t）2

解得：t= ；

過點O作ON⊥AB于點N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2

解得：t=3.9．

∵ ≠3.9，

∴不存在實數t，使得點B′與點O重合

【解析】解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=10﹣t，BF=3t，
即：10﹣t=3t，
解得t=2.5；
（1）利用正方形的性質，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；（3）本問為存在型問題．假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在．