Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：在矩形ABCD中，點E為BC邊的中點，將△ABE沿直線AE翻折，使點B與點F重合，直線AF交直線CD于點G．

特例探究

實驗小組的同學發現：

（1）如圖1，當AB＝BC時，AG＝BC+CG，請你證明該小組發現的結論；

（2）當AB＝BC＝4時，求CG的長；

延伸拓展

（3）實知小組的同學在實驗小組的啟發下，進一步探究了當AB：BC＝時，線段AG、BC、CG之間的數量關系，請你直接寫出實知小組的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）AG＝BC+CG．

【解析】

（1）連接EG,由折疊的性質可證Rt△EGF≌Rt△EGC，然后利用全等三角形的性質有FG＝GC，則結論可證；

（2）由全等三角形和折疊的性質可證△ABE∽△ECG，利用相似三角形的性質有，已知EC，則CG可求.

（3）由全等三角形的性質可知AB＝AF， FG＝GC，再利用AB、BC之間的關系即可得出答案.

解：（1）如圖1中，連接EG．

∵△AEF是由△AEB翻折得到，

∴EB＝EF＝EC，AB＝AF，∠AFE＝∠B＝∠C＝90°，

在Rt△EGF和Rt△EGC，

∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），

∴FG＝GC，

∵AB＝AF＝BC，

∴AG＝AF+FG＝BC+CG．

（2）∵△EGF≌△EGC，

∴∠GEF＝∠GEC，

∵∠AEB＝∠AEF，∠BEC＝180°

∴∠AEG＝90°，

∴∠AEB+∠GEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠GEC＝∠BAE，

∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECG，

∵EC＝2，

∴CG＝1．

（3）如圖2中，連接EG．

∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，

∴AB＝AF，BE＝EF＝EC，FG＝GC，

∵AB：BC＝ ：2，

∴AB＝BC，

∴AG＝AF+FG＝AB+CG＝BC+CG．

即AG＝BC+CG．