Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A在拋物線y＝x2＋bx＋c（b＞0）上，且A（1，－1），

（1）若b－c＝4，求b，c的值；

（2）若該拋物線與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點C，則命題“對于任意的一個k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例；

（3）將該拋物線平移，平移后的拋物線仍經過（1，－1），點A的對應點A1為

（1－m，2b－1）.當m≥－時，求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）b＝1，c＝－3；（2）對于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k·OB；（3）平移后拋物線的頂點所能達到的最高點坐標為（，－）.

【解析】

（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c得b+c=-2，與b-c=4構成方程組，解方程組即可求得；

（2）求得B（0，-2-b），C（-，0），即可求得OC=，OB=2+b，根據題意當k=時，由OC=OB得=（2+b），此時b=-6＜0不合題意，即可判定命題不正確；

（3）把y=x2+bx+c化成頂點式，得到y=（x+）2--2-b，根據平移的規律得到y=（x++m）2--2+b，把（1，-1）代入，進一步得到（1++m）2=（-1）2，即1++m=±（-1），分類求得m=-b，由m≥-，得到b≤，即0＜b≤，從而得到平移后的解析式為y=（x-）2--2+b，得到頂點為（，--2+b），設p=--2+b，即p=-（b-2）2-1，即可得到p取最大值為-，從而得到最高點的坐標．

（1）把（1，-1）代入y=x2+bx+c，可得b+c=-2，

解，可得b=1，c=-3，

（2）不正確，

理由：由b+c=-2，得c=-2-b．

對于y=x2+bx+c，

當x=0時，y=c=-2-b．

拋物線的對稱軸為直線x=-．

所以B（0，-2-b），C（-，0）．

因為b＞0，

所以OC=，OB=2+b，

當k=時，由OC=OB得=（2+b），此時b=-6＜0不合題意．

所以對于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC=kOB；

（3）由平移前的拋物線y=x2+bx+c，可得

y=（x+）2-+c，即y=（x+）2--2-b．

因為平移后A（1，-1）的對應點為A1（1-m，2b-1）

可知，拋物線向左平移m個單位長度，向上平移2b個單位長度．

則平移后的拋物線解析式為y=（x++m）2--2-b+2b，

即y=（x++m）2--2+b．

把（1，-1）代入，得

（1++m）2--2+b=-1．

（1++m）2=-b+1．

（1++m）2=（-1）2．

所以1++m=±（-1）．

當1++m=-1時，m=-2（不合題意，舍去）；

當1++m=-（-1）時，m=-b，

因為m≥-，所以b≤．

所以0＜b≤，

所以平移后的拋物線解析式為y=（x-）2--2+b．

即頂點為（，--2+b），

設p=--2+b，即p=-（b-2）2-1．

因為-＜0，所以當b＜2時，p隨b的增大而增大．

因為0＜b≤，

所以當b=時，p取最大值為-，

此時，平移后拋物線的頂點所能達到的最高點坐標為（，-）．