Question

【題目】有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．

（1）試探究線段BD與線段MF的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）把△BCD與△MEF剪去，將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1，邊AD1交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，求β的度數．

（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F2M2與AD交于點P，A2M2與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度數為60°或15°；（3）平移的距離是（3﹣）cm．

【解析】

（1）由旋轉的性質得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大�。�

（2）分兩種情形討論①當AK=FK時，②當AF=FK時，根據旋轉的性質得出結論．

（3）求平移的距離是A2A的長度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例，即可得到A2A的大小．

（1）結論：BD=MF，BD⊥MF．理由：

如圖1，延長FM交BD于點N．

由題意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．

又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．

（2）如圖2．

①當AK=FK時，∠KAF=∠F=30°，則∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；

②當AF=FK時，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；

綜上所述：β的度數為60°或15°；

（3）如圖3．

由題意得矩形PNA2A．設A2A=x，則PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．

∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距離是（）cm．